Exercice 11B

 

 

Exercice sans calculatrice

 

 

Enoncé :

 

On étudie un pendule simple constitué d’une masse ponctuelle m, attachée à l’une des extrémités d’un fil inextensible, de masse négligeable et de longueur L.

L’autre extrémité du fil est attachée en un point fixe A.

Ce pendule est placé dans le champ de pesanteur dans le référentiel terrestre considéré comme galiléen.

Écarté de sa position d’équilibre G₀, le pendule oscille sans frottements avec une amplitude θ_i.

G_i est la position initiale à partir de laquelle le pendule est abandonné sans vitesse.

Une position quelconque G est repérée par l'élongation angulaire θ mesurée à partir de la position d’équilibre.

 

 

a. Donner l’expression de l’énergie cinétique en G.

b. Donner l’expression de l’énergie potentielle en G.

c. Donner l’expression de l’énergie mécanique en G, en fonction de m, g, L, v et θ.

d. Pourquoi l’énergie mécanique se conserve-t-elle ?

e. Calculer la valeur de la vitesse du pendule au point G₀.

Données : . . g = 10 m.s^-2 ; . . L = 1,0 m ; . . cos θ_i = 0,95.

(d'après le bac 2005)

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Solution :

 

 

a. La masse du fil étant négligeable, l’énergie cinétique du pendule est égale à l'énergie cinétique du solide de masse m.

Soit v la vitesse instantanée du solide.

L’énergie cinétique du pendule est : . . . . . . . E_c = ½ m . v²

 

b. L’énergie potentielle du pendule au point G, d'altitude z_G, est : . . . . . . . E_p = m . g . z_G

. . . . . . Remarques :

. . . . . . L'origine de l'axe des altitudes est choisie de sorte que l'altitude du point G₀ soit nulle.

. . . . . . L'altitude du point A est : . . . . . . . z_A = L ;

. . . . . . L'altitude du point G est : . . . . . . . z_G = L - L cos θ = L . (1 - cos θ).

 

 

L’énergie potentielle du pendule au point G est donc : . . . . . . . E_p = m . g . L . (1 - cos θ).

 

c. L’énergie mécanique du pendule au point G, est telle que : . . . . . . . E_m = E_c + E_p

. . . . . . D'où :

E_m = ½ m . v² + m . g . L . (1 - cos θ)

 

d. L’énergie mécanique du pendule se conserve parce qu'il oscille sans frottements.

Sans frottements, il n'y a pas de pertes énergétiques, donc l'amplitude des oscillations est conservée.

 

e. Sachant que l’énergie mécanique du pendule se conserve, on a : . . . . . . . E_m(G_i) = E_m(G₀)

. . . . . . Or, au point G_i, la vitesse du pendule étant nulle, l'énergie mécanique est :

E_m(G_i) = m . g . L . (1 - cos θ_i)

. . . . . . Et, au point G₀, l'angle θ étant nul, l'énergie mécanique est :

E_m(G₀) = ½ m . v² + m . g . L . (1 - cos 0) = ½ m . v²

. . . . . . D'où :

½ m . v² = m . g . L . (1 - cos θ_i)

. . . . . . D'où :

½ v² = g . L . (1 - cos θ_i)

. . . . . . D'où :

v = `sqrt(2 . g . L . (1 - cos θ_i))`

. . . . . . A.N. :

. . . . . . . . . . . v = `sqrt(2 . 10 . 1,0 . (1 - 0,95))` = `sqrt(2 . 10 . (0,05))` = `sqrt(1,0)` = 1,0 m.s^-1.