Exercice 9D

 

Enoncé :

 

Une voiture de masse M = 1,20 . 103 kg, se déplace sur une route horizontale rectiligne.

Elle est soumise à des actions mécaniques extérieures de deux types :

. . . . - les actions motrices, modélisées par un vecteur force `vec{F_m}`, parallèle à la route, de valeur constante Fm = 3,0 . 103 N, appliqué au centre d'inertie ;

. . . . - les actions résistantes, modélisées par un vecteur force `vec{F_f}`, parallèle à la route, de valeur constante Ff, de sens opposé à celui du déplacement et appliqué au centre d'inertie.

 

On photographie les positions successives de la voiture, toutes les secondes, lors du démarrage.

L'enregistrement des positions permet d'obtenir le tableau suivant :

 

t (s)
0
1,0
2,0
3,0
4,0
5,0
6,0
7,0
x (m)
0
1,0
4,0
9,0
16
25
36
49

 

a. Indiquer la méthode à utiliser pour déterminer la vitesse de la voiture à un instant t.

b. Calculer la valeur des vitesses pour les dates 0 < t < 7,0 s.

c. Représenter graphiquement les variations de la vitesse en fonction du temps t.

d. Montrer que ce graphe permet de déterminer la nature du mouvement de la voiture.

e. En déduire la valeur de l'accélération de la voiture.

f. Puis, calculer la valeur de l'intensité de la force `vec{F_f}`.

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Solution :

 

a. La vitesse instantanée de la voiture à l'instant ti est confondue à sa vitesse moyenne entre les instants ti-1 et ti+1.

. . . . D'où la relation :

vi = `(x_(i+1) - x_(i-1))/(t_(i+1) - t_(i-1))`. . . .(1)

 

b. Tableau (les vitesses vi sont calculées à l'aide de la relation précédente) :

 

t (s)
0
1,0
2,0
3,0
4,0
5,0
6,0
7,0
x (m)
0
1,0
4,0
9,0
16
25
36
49
v (m.s-1)
0
2,0
4,0
6,0
8,0
10,0
12,0
--

 

 

c. Représentation de v(t) :

 

d. La courbe v(t) est une droite d'équation : . . . . v = 2 . t

La vitesse augmentant régulièrement au cours du temps, le mouvement est uniformément accéléré.

 

e. Par définition, l'accélération est égale à la dérivée par rapport au temps de la vitesse :

. . . . D'où :

a = `(dv)/(dt)`

. . . . D'où :

a = `(Δv)/(Δt)`

. . . . A.N. : . . a = `(12,0)/(6,0)` = 2,0 m.s-2.

Remarque : l'accélération est constante pendant les 6 premières secondes du mouvement.

 

f. Appliquons la deuxième loi de Newton à la voiture étudiée dans le référentiel galiléen lié au sol.

`vec{ΣF}` = m . `vec{a}`

Les forces appliquées à la voiture sont :

son poids `vec{P}`, la réaction du sol `vec{R}` , la force motrice `vec{F_m}` et les forces de frottement (air et sol) `vec{F_f}`

 

 

La deuxième loi de Newton s'écrit :

`vec{P}` + `vec{R}` + `vec{F_m}` + `vec{F_f}` = m . `vec{a}`. . . .(2)

Remarque : le mouvement étant rectiligne uniformément accéléré, le vecteur accélération `vec{a}` est dans la même direction et le même sens que `vec{F_m}`.

En projetant l'équation (2) sur l'axe horizontal orienté dans le sens du mouvement, on obtient :

Fm - Ff = m . a

. . . . D'où :

Ff = Fm - m . a

. . . . A.N. : . . Ff = 3000 - 1200 . 2 = 600 N