Exercice 9E

 

 

Enoncé :

 

Pour servir, un joueur de tennis lance la balle verticalement vers le haut.

Il veut frapper la balle lorsqu'elle atteint le sommet de sa trajectoire.

La balle est frappée 90 cm au-dessus de l'endroit où elle a quitté la main du joueur.

 

a. En supposant que pendant son mouvement vertical la balle n'est soumise qu'à son poids, calculer la valeur de la vitesse avec laquelle la balle doit quitter la main du joueur.

b. Calculer la durée sérarant le lancer et la frappe de la balle par le joueur.

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Solution :

 

 

a. La balle est lancée verticalement vers le haut à partir d'un point O choisi comme origine sur l'axe des altitudes.

Soit `vec{k}` le vecteur unitaire ascendant sur cet axe.

Appliquons la deuxième loi de Newton à la balle soumise uniquement à son poids, dans le référentiel galiléen lié au sol.

m `vec{a}` = `vec{P}`

. . . . . . . D'où :

m `vec{a}` = m `vec{g}`

. . . . . . . D'où :

`vec{a}` = `vec{g}`

. . . . . . . Or : . . . `vec{g}` = - g `vec{k}`

. . . . . . . D'où :

`vec{a}` = - g `vec{k}`

En appelant a l'accélération le long de l'axe vertical ascendant, on obtient :

a = - g

 

Par intégration de l'accélération, on obtient la vitesse :

v = - g t + C₁

. . . . . . . Or, à t = 0, : . . . v = v₀

. . . . . . . D'où :

v = - g t + v₀

 

Par intégration de la vitesse, on obtient l'altitude z :

z = - ½ g t² + v₀ t + C₂

. . . . . . . Or, à t = 0, : . . . z₀ = 0

. . . . . . . D'où :

z = - ½ g t² + v₀ t

 

Soit t_s, l'instant correspondant au sommet de la trajectoire de la balle.

A t = t_s, la vitesse verticale de la balle est nulle.

. . . . . . . D'où :

v = - g t_s + v₀ = 0

. . . . . . . D'où :

t_s = `(v_0)/g`

 

L'altitude du sommet de la trajectoire est donc :

z_s = - ½ g t_s² + v₀ t_s

. . . . . . . D'où :

z_s = - ½ g (`(v_0)/g`)² + v₀ . `(v_0)/g` = ½ `(v_0^2)/g`

. . . . . . . D'où :

v₀² = 2 g . z_s

. . . . . . . D'où :

v₀ = `sqrt(2 * g * z_s)`

. . . . . . . A.N. :. . v₀ = `sqrt(2 * 9,81 * 0,90)` = 4,2 m.s^-1.

 

b. Il a été établi que la valeur de t_s est telle que :

t_s = `(v_0)/g`

. . . . . . . A.N. :. . t_s = `(4,2)/(9,81)` = 0,43 s.